Kurzfassungen der Tagungsbeiträge

Stand: 21.09.2005

Beckmann, Astrid
Informatische Aspekte im Mathematikunterricht - Möglichkeiten und Chancen

In unserem technologischen Zeitalter gehören informatische Kenntnisse zur Allgemeinbildung. Da Mathematik die Hintergrundtheorie der Informatik ist und grundlegende Begriffe und Methoden der Informatik mathematisch sind, ist hier besonders der Mathematikunterricht angesprochen.
Im ersten Teil des Vortrags werden mögliche Aspekte der Informatik identifiziert. Im zweiten und dritten Teil wird an Hand von fächerübergreifenden Beispielen (ggf. zusätzlich an Hand eines Unterrichtsentwurfs zum Thema Sprache/ Grammatik) gezeigt, dass bestimmte informatische Aspekte einen Beitrag zum Mathematiklernen liefern können, indem mathematische Methoden und Inhalte durch informatische Themen motiviert und bedeutungshaltig erfahren werden können.

Bender, Peter
Software für Dynamische Geometrie (DGS) - zukünftig ein Standard für die Lehramts-Ausbildung?

In Paderborn ist die (fachliche) Geometrie-Vorlesung (mit Übung) eine Pflicht-Veranstaltung am Studien-Beginn für angehende Mathematik-Lehrerinnen & -Lehrer für die Grund-, die Haupt-, die Real- und die Gesamtschule (GHRG). Seit Ende der 1990-er Jahre ist diese Veranstaltung konsequent auf die Arbeit mit DGS (zunächst Cabri, später Cinderella) ausgerichtet. In einem vom MWF NW mit 158 TEuro geförderten Projekt untersuchten Dorothee Maczey und ich von Ende 2001 bis Anfang 2004 die "Wirkung einer multimedialen Lernumgebung auf das Mathematiklernen". Nach einigen Voraus- und Zwischenberichten möchte ich vorläufig abschließend einige Erkenntnisse zusammenfassen und die Frage diskutieren, ob DGS zukünftig ein Standard für die Mathematik-Ausbildung für GHRG-Studierende sein soll.

Bescherer, Christine
Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie – Übertragung des FITness-Konzepts auf die Mathematiklehrerausbildung

Das „FITness-Konzept“ ist ein 1999 mit großem Aufwand vom National Research Council, USA, entwickeltes Konzept „Being Fluent with Informationtechnology, in dem beschrieben wird, über welche Kenntnisse informatischer Grundkonzepte, informationstechnischen Fertigkeiten und informatischen Denkweisen Schülerinnen und Schüler verfügen sollten. Diese drei Bereiche werden in jeweils 10 Unterpunkten beschrieben. Einige davon sind:
Informatische Denkweisen: Mit Komplexität umgehen, Testen von Lösungen, Kommunizieren mit verschiedenen Zielgruppen, …
Informatische Grundkonzepte: Computer (Hardware, Software), Informationssysteme (wirtschaftsinformatische Sichtweise), Modellierung und Abstraktion, …
Informationstechnische Fertigkeiten: Aufbauen und Verbinden von Computern, Informationen im Internet finden, Datenbanken nutzen und pflegen, …
Im Vortrag stelle ich – neben dem Konzept an sich – eine Umsetzung dieses Konzepts in Form der Vorlesung „Einführung in die Informatik“ für Studierende des Mathematiklehramts an der Universität Flensburg vor.

Brinda,Torsten
Wechselwirkungen zwischen Mathematik- und Informatikunterricht

Elschenbroich, Jürgen
Back to the Roots

Vom Heron-Algorithmus zum geometrischem Wurzelziehen mit dem Höhensatz. Antike Ansätze zum Wurzelziehen, mit DGS visualisiert und dynamisiert.

Epkenhans, Martin
Laufzeitanalysen, Wachstumsfunktionen und asymptotisches Verhalten

Die im Informatikunterricht behandelten Sortieralgorithmen, Algorithmen auf Datenstrukturen und mathematischen Algorithmen sind problemlos auch außerhalb der Informatik verständlich. Zur Bewertung von Algorithmen sind asymptotische Laufzeituntersuchungen unentbehrlich. Dabei ist es wichtig, einerseits einen qualitativen Unterschied zwischen etwa logarithmischem, linearem, quadratischem und exponentiellen Wachstum zu erkennen, aber auch andererseits zu begreifen, dass es auf die genaue Laufzeit nicht ankommt. Leicht verständliche Fragestellungen der Informatik motivieren so interessante Untersuchungen in der Analysis.

Filler, Andreas
Rekursive Beschreibung von Kurven und Flächen – Bindeglied zwischen einfachen geometrischen Entstehungsprinzipien und der Modellierung komplexer organischer Formen

Die geometrische Modellierung vielfältiger "realer" Objekte in der Computergrafik und im CAD erfordert die Erzeugung von Kurven und Flächen, die durch vorgegebene Punkte verlaufen (oder sich an diese annähern) und evtl. bestimmte Tangenteneigenschaften erfüllen. Eine Beschreibung derartiger Kurven und Flächen durch geschlossene Darstellungen (Gleichungen oder Parameterdarstellungen) ist in vielen Fällen extrem kompliziert oder praktisch unmöglich. Seit den sechziger Jahren hat sich daher eine neue Art der Beschreibung von Kurven und Flächen etabliert: die Beschreibung durch rekursive Konstruktionsvorschriften. Neben Bèzierkurven und -flächen (deren geschlossene Beschreibung durch Parameterdarstellungen noch möglich ist) haben unterschiedliche Arten von Basis- (B-)Splines sowie Subdivision Surfaces eine besondere Bedeutung erlangt. Letztere kombinieren ein leicht verständliches geometrisches Entstehungsprinzip, das für den zweidimensionalen Fall anhand einfacher Beispiele sogar "händisch" nachvollziehbar ist, mit einer hohen Flexibilität bei der Modellierung subtiler organischer Formen. Zwischen diesen beiden scheinbar widersprüchlichen Eigenschaften.

Computergrafik und Mathematikunterricht (Arbeitsgruppe)

Mathematische und informatische Aspekte und „Hintergründe“ der Computergrafik als Gegenstand des Mathematikunterrichts – Möglichkeiten fächerübergreifenden Unterrichts am Beispiel der Computergrafik)

Haftendorn, Dörte
Krypto - logisch!

Ohne PIN-Nummern, sicheren Datentransfer, digitale Signatur u.a. ist unsere Welt nicht mehr denkbar. Die moderne Kryptografie beruht auf Berechnungen modulo großer Primzahlen oder Primzahlprodukten. Sie hat ihre Wurzeln damit in Algebra und Zahlentheorie, ist aber auch schon mit überschaubaren Primzahlen ohne Computer nicht zu bewältigen. Zentrale algorithmische Anforderungen liegen beim erweiterten Euklidischen Algorithmus und beim Potenzieren im Modul. Informatische Aspekte sind also die Entwicklung von entsprechenden Funktionen. Die großen CAS können das, für den TI-voyage werden Lösungen vorgestellt. Auch die Abarbeitung eines kryptografischen Protokolls ist ein Algorithmus im klassischen Sinn. Der Vortrag beruht auf Erfahrungen im Informatikunterricht des Gymnasiums und in Vorlesungen für Lehramtsstudierende. Für letztere dient die Kryptographie als Ziel und Sinngebung für die Themen "Algebra und Zahlentheorie". Es ist faszinierend wie hier ein gesellschaftlich außerordentlich wichtiges Thema in schulisch überschaubarerem mathematischen Handeln transparent wird.

Wieviel Programieren-Können braucht man in der Mathematiklehre? (Arbeitsgruppe)

Hoppe, Ulrich
Integration von Lernprozessen im Klassenraum durch interaktive kooperative Medien

In vielen Anwendungsgebieten der Informationstechnologie spricht man von Com­puter-basierter Integration. Es geht dabei nicht mehr nur um einzelne Anwendun­gen sondern um Vernetzung, Interoperabilität, angepasste und eingebettete Hardware-Komponenten, Mehr-Benutzer-Unterstützung, Unterstützung und Pla­nung von Arbeitsabläufen auch über längere Zeiträume. Die Grundthese des Vor­trages ist, dass diese Ziele auch für den Einsatz interaktiver digitaler Medien im Un­terricht, speziell auch im Klassenraum, relevant und innovationsträchtig sind. Eini­ge Ergebnisse aktueller Projekte werden aus dieser Sichtweise interpretiert.

Kortenkamp, Ulrich
Strukturieren durch Algorithmen

"Algorithmen" im Mathematikunterricht werden zurecht kritisch  gesehen; Mathematik treiben lässt sich nicht darauf reduzieren, den  richtigen Algorithmus zu identifizieren und dann "ablaufen" zu  lassen. Es ist nicht einzusehen warum Verfahren, die eine Maschine  problemlos durchführen kann, überhaupt in Mathematik gelehrt werden  sollen -- oder doch? In meinem Vortrag möchte ich das (Auswendig-) Lernen und Ausführen von Algorithmen einem sinnvollen Einsatz von  Algorithmen gegenüber stellen. Dazu gehört, dass Strukturen sichtbar  gemacht werden, die ohne Algorithmus verborgen bleiben, Modelle  erschlossen werden, deren Eigenschaften ohne Algorithmus unklar  bleiben, und Grundbegriffe isoliert werden, die als Basis-Bausteine  für Algorithmen dienen. Schließlich diskutiere ich, welche Rolle das  Programmieren im Mathematikunterricht dabei spielen kann.

Lambert, Anselm und Selzer, Pia
Schillernde Diskretisierung – Bemerkungen an einer Schnittstelle von Mathematik und Informatik

Mathematik wird im Unterricht – wie im richtigen Leben – von Menschen gedacht und gemacht. Das Neue Medium und Werkzeug Computer erweitert dabei die Möglichkeiten zur Darstellung von Objekten des mathematischen Tuns und des Operierens mit diesen – immer allerdings im Rahmen seiner prinzipiellen Grenzen. Ein Mathematikunterricht, der Wert auf eine verständige und reflektierende Verwendung unterschiedlicher Darstellungen legt, sollte Grenzen des Computers mit diskutieren und kann dies ja auch, da jeder Computer, als Maschine gewordene Mathematik, mathematischer Beschreibung zugänglich ist. Hier kann der Computer eine reflexive Stärke demonstrieren: Er unterstützt durch seine Darstellungs- und Operationsmöglichkeiten auch bei der Erkundung seiner eigenen Grenzen.

Lehmann, Eberhard
Einbeziehung informatischer Inhalte und Methoden im Mathematik-Unterricht: Bilanz negativ?!

Die vielen Möglichkeiten, Mathematik und Informatik inhaltlich miteinander zu vernetzen werden in der Regel weder von Mathematik- noch von Informatiklehrern genutzt oder auch nur beachtet. Auch neue M-Lehrpläne oder M-Bücher ignorieren die Zusammenhänge weitgehend. In den Unterrichtsmethoden und den zu vermittelnden allgemeinen Kompetenzen und Bildungsstandards dagegen sind sich MU und InfU (wie andere Fächer auch) näher gekommen.

Nach einer kurzen Vorstellung aktueller zentraler informatischer Ideen (fachliche und methodische Kompetenzen / EPA) wird der Frage nachgegangen, in wie weit diese Anknüpfungspunkte für den MU sein können. Einige Beispiele über inhaltliche Verknüpfungen konkretisieren die Überlegungen.

Löthe, Herbert
Erlebnis Mathematik mit Computer - Realisierung am Beispiel des Folgenbegriffs

Beim Lernen von Begriffen und Zusammenhängen in der Mathematik ist reine Demonstrationssoftware nur eingeschränkt hilfreich. Studierende müssen aus eigenem Antrieb sich eine aktive Lernhaltung verordnen, um eine richtige und fruchtbare Vorstellung über den Begriff zu erwerben. Es tritt der Kino-Effekt ein, d.h. Lernende lassen sich gern von einer Demonstration berieseln.
Geht man zum anderen Extrem, einer Software, in der programmiert werden muss, dann lassen sich selbst bei niedriger Einstiegsschwelle - wie etwa bei Logo oder Scheme-LUCS - nur wenige damit zum guten Experimentieren anregen. Die Skripte zu den Grundveranstaltungen mit praktischen Übungen in LUCS im Mathematikstudium werden von weniger als einem Drittel der Studierenden in der gewünschten Weise genutzt.
Ein Mittelweg wird nun mit einer Integration des LUCS-System in einen pdf-Files des Skripts versucht. Aus dem pdf-Dokument heraus kann LUCS gestartet werden, der Autor kann wie mit Geisterhand vorspielen, was er für wichtig hält, und danach den Lernende weiterarbeiten lassen.
Als Gebiet wurde der Begriff der (unendlichen) Folge in Analysis gewählt, der durch eine eigene Datenstruktur etwa in LUCS dargestellt und praktisch erprobt werden kann. Ein reiner Vortrag darüber kann die Macht dieser Begriffsbildung kaum darstellen; es ist notwendig die Universalität auf dem Rechner zu erleben.

Magenheim, Johannes
Sozio-technische Informatiksysteme als Unterrichtsgegenstand an allgemeinbildenden Schulen?

In dem Vortrag soll dem möglichen Beitrag des Informatikunterrichts zur Allgemeinbildung nachgegangen werden. Hierzu wird der Begriff des sozio-technischen Informatiksystems erörtert und exemplarisch Methoden und Fragestellungen des Informatikunterrichts vorgestellt. In der Vielfalt der Erscheinungsformen sozio-technischer Informatiksysteme lassen sich gleichartige informatische Konstruktionsprinzipien und typische mediale, technische und soziale Funktionen derartiger Systeme identifizieren. Zu diskutieren ist, ob die Auseinandersetzung mit derartigen Prinzipien, Methoden und Funktionen einen Beitrag zur Allgemeinbildung zu leisten vermag.

Mann, Markus (und Hauck, Georg)
Gute Seiten, schlechte Seiten – Internetangebote für den Mathematikunterricht

Moderne Unterrichtsvorbereitung und -gestaltung mit Hilfe des Internet wird für Lehrer und Lehramtsstudierende zunehmend interessanter. Wie findet man allerdings spannende und für den MU nützliche Internetangebote? Welche Seiten gibt es? Und wie gut sind diese?
Bisher liegen keine systematisierten Übersichten und kein transparentes Bewertungssystem vor, anhand dessen Internetnutzer effizient entscheiden können, welche der vielfältigen Internetangebote den von ihnen intendierten Zwecken dienen.
In einem Kooperationsseminar von Mathematik- und Mediendidaktik erarbeiteten im Sommer 2005 Lehramtsstudierende der Pädagogischen Hochschule Weingarten Kriterien zur Bewertung von Internetangeboten für den Mathematikunterricht. Die Kriterien generieren sich sowohl aus fachdidaktischen Aspekten des Mathematikunterrichts und aus mediendidaktischen Aspekten der Webgestaltung, als auch aus der intuitiven Bewertung der Lehramtsstudierenden. Ziel der Veranstaltung ist der Aufbau einer Datenbank, welche die im Seminar recherchierten Seiten sowie deren Beurteilung auf Grundlage des erarbeiteten Bewertungssystems erfasst und kategorisiert.
Im Vortrag werden die Entstehung und die Kriterien des Bewertungssystems vorgestellt, sowie ein Überblick über die Ergebnisse gegeben.

Nestle, Fritz
Papageiengeplapper versus verstandene Sprachproduktion

Bei einer Metabetrachtung sind Esoterik, Fußball, Informatik, Mathematik, ... als Lernstoff weitgehend austauschbar.

Während früher wesentliche Teile des mathematischen SI-Schulstoffs für den Alltag relevant waren, trifft dies heute nur noch in geringem Maß zu. Die Bedeutung des Mathematiklernens im Kindes- und Jugendalter ist überwiegend auf ein kognitives Konditionstraining reduziert und in dieser Funktion durch andere Lerngebiete ersetzbar geworden. Solche können aus der Informatik kommen, zum Beispiel auch heute noch Programmieraufgaben und als Voraussetzung dazu Strukturierungsaufgaben. Die Programmierungsaufgaben sind – auch bei der Verwendung von Programmgeneratoren - mit etwas höherem Anspruch denen des Zahlenrechnens vergleichbar. Die Strukturierungsaufgaben sind eine Verallgemeinerung von Mathematisierungsproblemen.

Neben der praktischen Nutzbarkeit des Inhalts ist ein wichtiges Kriterium für die Auswahl, auf welchem taxonomischen Niveau Anwendungen möglich sind. Die Spannweite reicht von verständnislosem Papageiengeplapper bis zur verstandenen Sprachproduktion.

Konstruktion korrekturgünstiger Aufgaben – auch mit sofortiger automatischer Auswertung (Arbeitsgruppe)

Oldenburg, Reinhard
Vom Nutzen und vom Nachteil der Informatik für den Mathematikunterricht

Die Didaktik der Informatik etabliert sich zunehmend als eigenständiges Fach, und auch an den Schulen kann von einer (wenn auch zögerlichen) Zunahme des Informatikunterrichts gesprochen werden. Aus der Sicht des Mathematikunterrichts ergeben sich damit neue Möglichkeiten der Kooperation. Diese wird aber auf theoretischer Ebene erschwert, da es teilweise deutliche Unterschiede zwischen den didaktischen Ansätzen gibt.

Pallack, Andreas
Informatische Kompetenzen testen

In vielen Bundesländern ist der Einsatz neuer Technologien im Mathematikunterricht mittlerweile Pflicht. Schülerinnen und Schüler erwerben dabei „informatische Kompetenzen“. Um zu überprüfen, inwiefern die Lernenden wirklich in der Lage sind neue Technologien im Mathematikunterricht gezielt einzusetzen, sollten diese Kompetenzen auch gezielt überprüft werden.
Im Vortrag wird über den Stand der Entwicklung entsprechender Aufgaben und Items für qualitätssichernde Maßnahmen (Vergleichsarbeiten, Lernstandserhebung, zentrale Abschlussprüfungen, ...) in NRW berichtet.

Roth, Jürgen
Dynamik von DGS – Wozu und wie sollte man sie nutzen?

In der Literatur zum Einsatz von dynamischer Geometriesoftware (DGS) im Unterricht wird immer wieder darauf verwiesen, dass der wesentliche Vorteil dieser Software die Möglichkeit ist, mit ihr sehr einfach Bewegungen bzw. Veränderungen von Konfigurationen realisieren zu können. Es stellt sich allerdings die Frage, wozu man diese Möglichkeit überhaupt benötigt und nutzen kann. Selbst nach einer Beantwortung bleibt weiterhin zunächst offen, wie ein Einsatz von DGS im Unterricht aussehen sollte, um diese Möglichkeiten auch auszuschöpfen. Ferner darf die Entwicklungsarbeit nicht unterschätzt werden, die notwendig ist um entsprechende DGS-Dateien zu erzeugen. Alle genannten Problemstellungen werden hier diskutiert. Dabei wird deutlich, dass Konzeptionen zum DGS-Einsatz zwei Dimensionen berücksichtigen müssen. Dies ist zum einen die „Inhaltsdimension“, die den Zweck des Einsatzes betrifft und zum anderen die „Unterstützungsdimension“, die den Grad der zur Verfügung gestellten Fokussierungshilfen betrifft. Es wird an konkreten Beispielen dargestellt, welche Aspekte diese beiden Dimensionen beinhalten und wie sie ineinander greifen.

Thode, Reinhold
Lineare Gleichungssysteme im Unterricht mit CAS-Rechnern

Im Unterricht – auch und gerade im Leistungsfach Mathematik – werden zunehmend Inhalte der Linearen Algebra zu Gunsten der Analytischen Geometrie verdrängt, nach meinem Empfinden eine eher unglückliche Entwicklung.

Schüler beurteilen immer wieder eine numerische Lösung von Gleichungen oder Gleichungssystemen als minderwertig, nachgerade „unanständig“. Sie erwarten – und nur das halten sie für „mathematisch angemessen“ – eine geschlossene Lösung. Unser Unterricht hauptsächlich in der Mittelstufe scheint die Schüler zu verbilden.

Numerische Verfahren bieten sich natürlich zur Programmierung an. In der Programmierung selbst liegt dann allerdings kaum noch Erkenntniszugewinn für den mathematischen Inhalt. CAS-Systeme erlauben eine „halbautomatische“ Lösung, die oft das Lösungsverfahren der Wahl darstellen können.

Der Vortrag beschäftigt sich mit den drei genannten Aspekten und berichtet über einen Unterrichtsversuch im Leistungskurs Mathematik unter Einbeziehung des ClassPad 300 von Casio. Zentrum der Darstellung ist das numerische Lösen von Linearen Gleichungssystemen.

Lineare Algebra mit CAS-Rechnern (Arbeitskreis)

Im Anschluß an den zugehörigen Vortrag sollen im AK Fragen des Einsatzes von CAS-Rechnern im Bereich Lineare Algebra / Analytische Geometrie geklärt werden.

Welchen Gewinn bringen diese Rechner für den Unterricht? Können informatorische Inhalte, die früher zur Programmierung geführt haben, mit diesen Rechnern eher Einzug in den Unterricht halten?

Es stehen ca. 20 Casio-Rechner ClassPad 300 zur Verfügung. Die Teilnehmer können diesen mächtigen Rechner kennenlernen und mit ihm arbeiten.
Zu dem vorgebenen Thema sollen möglichst konkrete Beispiele für den Unterricht erarbeitet werden.

Xylander, Bert
Klassen, Objekte und Vererbung im Mathematikunterricht

Die objektorientierte Denkweise stellt ein grundlegendes Konzept der modernen Informatik dar. Mit dem Übertragen dieser Denkweise in den mathematischen Unterricht (Bilden von Klassen mathematischer Objekte, Untersuchen der Eigenschaften der Objekte sowie ihrer Weitergabe – Vererbung – in hierarchischen Objektstrukturen) werden wichtige Ideen der Mathematik betont: Menge, Strukturierung, funktionaler Zusammenhang. Eine objektorientierte Sichtweise auf mathematische Inhalte kann durch die damit verbundene Systematisierung oder Analogiebildung den Erkenntnisprozess bereichern und ergänzen.

Der Vortrag skizziert kurz die Prinzipien der Objektorientierung und diskutiert an Beispielen aus verschiedenen Klassenstufen den Sinn (und manchmal auch Unsinn) einer solchen Betrachtungsweise im Mathematikunterricht.